Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC所在的直線上的動點（點D不與B、C重合），過點D作DE∥AC交直線AB于點E，DF∥AB交直線AC于點F．
（1）求證：AF=DE；
（2）若AC=5，DE=6，則DF= ．
（3）試探究：D在不同位置時，DE，DF，AC具有怎樣的數量關系，直接寫出結論：
①當點D在線段BC上時，關系是：；
②當點D在線段BC延長線上時，關系是：；
③當點D在線段CB延長線上時，關系是：；
（4）請選擇（3）中你探究獲得的其中一個結論證明之．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴AF=DE

（2）1或11
（3）DE+DF=AC；DE﹣DF=AC；DF﹣DE=AC
（4）

解：選擇：①；同（1）得：四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DF=AE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵DF∥AB，

∴∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠ACB，

∴DF=CF，

∵AF+CF=AC，

∴DE+DF=AC

【解析】（2）解：分兩種情況：

① 如圖2所示：
同（1）得：四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DF=AE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDE，
∴BE=DE=6，
∴DF=AE=BE﹣AB=6﹣5=1；
②如圖2所示：同①得：DF=AE，BE=DE=6，
∴DF=AE=6+5=11；
綜上所述：DF的長為1或11；
所以答案是：1或11；
·（3）①由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF+CF，
∴DE+DF=AC；
所以答案是：DE+DF=AC；
②由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF﹣CF，
∴DE﹣DF=AC；
所以答案是：DE﹣DF=AC；
③由（1）（2）得：DE=AF，DF=AE，BE=DE，
∵AB=AE﹣BE，AC=AB，
∴DF﹣DE=AC；
所以答案是：DF﹣DE=AC；
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的性質，需要了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．