Question

【題目】如圖，已知，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，過點A的直線y=kx+k與該拋物線交于點C，點P是該拋物線上不與A，B重合的動點，過點P作PD⊥x軸于D，交直線AC于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若k=-1，當PE=2DE時，求點P坐標；

（3）當（2）中直線PD為x=1時，是否存在實數k，使△ADE與△PCE相似？若存在請求出k的值；若不存在，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）P點坐標為（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，當k=-2或-1時，△ADE與△PCE相似

【解析】

（1）將A、B兩點坐標代入函數解析式y=x2+bx+c，利用待定系數法求解.

（2）設出P點的坐標，則可以表示出E、D的坐標，從而表示出PE和ED的長，由條件可得到關于P點坐標的方程，則可求得P點的坐標；

（3）∠AED=∠PEC,要使△ADE與△PCE相似，必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°，從而進行分類討論求解.

（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=x2-3x-4；

（2）當k=-1時，直線AC的解析式為y=-x-1．

設P（x，x2-3x-4），則E（x，-x-1），D（x，0），

則PE=|x2-3x-4-（-x-1）|=|x2-2x-3|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|x2-2x-3|=2|x+1|，

當x2-2x-3=2（x+1）時，解得x=-1或x=5，但當x=-1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（5，6）；

當x2-2x-3=-2（x+1）時，解得x=-1或x=1，

但當x=-1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（1，-6）；

綜上可知P點坐標為（5，6）或（1，﹣6）；

（3）存在．

∵∠AED=∠PEC，∴要使△ADE與△PCE相似，

必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°，

①當∠EPC=∠ADE=90°時，如圖，軸，

∵P（1，﹣6），根據對稱性可得C（2，﹣6），

將C（2，﹣6）代入AC解析式中，得2k+k=-6，解得，k=-2，

②當∠ECP=∠ADE=90°時，如圖，過C點作CF⊥PD于點F，

則有∠FCP=∠PEC=∠AED，

則△PCF∽△AED，

∴，

易得E（1，2k），∴DE=-2k，

由得．

∴C(k+4，k2+5k)，∴F（1，k2+5k)，

∴CF=k+3，FP=k2+5k+6，

∴ ，解得，k1=k2=-1，k3=-3（此時C與P重合，舍去）

綜上，當k=-2或-1時，△ADE與△PCE相似．