Question

【題目】如圖，一次函數的函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．

（1）求△ABC的面積；

（2）如果在第二象限內有一點P（m，），試用含m的代數式表示△APB的面積，并求當△APB與△ABC面積相等時m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐標軸上的點Q？若存在，請寫出點Q所有可能的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）先求出A、B兩點的坐標，再由∠ABC＝30°，求出AC的長，從而計算出面積；
（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，先求出梯形ODPB的面積和△AOB的面積之和，再減去△APD的面積，即是△APB的面積；根據△APB與△ABC面積相等，求得m的值；
（3）假設存在點Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q點的坐標即可．

解：（1）∵一次函數的解析式為y=-x+函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴A（1，0），B（0，），根據勾股定理可得：AB＝2，

在Rt△ABC， ∠ABC＝30°，設AC＝x，則BC＝2x，由勾股定理得，4x2﹣x2＝4，

解得x＝，S△ABC＝＝；

（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，

S△APB＝S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD＝＝，

＝，解得m＝；

（3）∵AB＝＝2，

∴當AQ＝AB時，點Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）；

當AB＝BQ時，點Q4（0，+2），Q5（0，﹣2），Q2（﹣1，0）；

當AQ＝BQ時，點Q6（0，），Q2（﹣1，0），

綜上可得：（0，），（0，），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，）