Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有一正方形AOBC，反比例函數 經過正方形AOBC對角線的交點，半徑為（4﹣2 ）的圓內切于△ABC，則k的值為 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：設正方形對角線交點為D，過點D作DM⊥AO于點M，DN⊥BO于點N；
設圓心為Q，切點為H、E，連接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函數 經過正方形AOBC對角線的交點，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四邊形HQEC是正方形，
∵半徑為（4﹣2 ）的圓內切于△ABC，
∴DO=CD，
∵HQ2+HC2=QC2 ，
∴2HQ2=QC2=2×（4﹣2 ）2 ，
∴QC2=48﹣32 =（4 ﹣4）2 ，
∴QC=4 ﹣4，
∴CD=4 ﹣4+（4﹣2 ）=2 ，
∴DO=2 ，
∵NO2+DN2=DO2=（2 ）2=8，
∴2NO2=8，
∴NO2=4，
∴DN×NO=4，
即：xy=k=4．
所以答案是：4．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質和三角形的內切圓與內心的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．