Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＞AD，∠A＝60°，

（1）如圖1，過點D作DH⊥AB于點H，MC平分∠DCB交AB邊于點M，過M作MN⊥AB交AD邊于點N，AN：ND＝2：3，平行四邊形ABCD的面積為60，求MN的長度．

（2）如圖2，E、F分別為邊AB、CD上一點，且AE＝AD＝DF，連接BF、EC交于點O，G為AD延長線上一點，連接GE、GF和GO，若∠GFD＝∠EFB，求證：GO⊥EC．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析

【解析】

（1）設AN=2x，DN=3x，得到AD=5x，解直角三角形得到AM=x，MNx，根據平行四邊形的性質得到BC=AD，CD∥AB根據等腰三角形的性質得到BM=BC=AD=5x，根據平行四邊形的面積列方程即可得到結論；

（2）連接CG，BG，根據平行四邊形的性質得到AB=CD，AB∥CD，推出四邊形AEFD是菱形，根據全等三角形的性質得到DG=BE，得到△ABG是等邊三角形，求得BG=AB=CD，∠ABG=60°，推出四邊形EBCF是平行四邊形，根據等腰三角形的性質即可得到結論．

（1）∵AN：ND=2：3，

∴設AN=2x，則DN=3x，

∴AD=5x．

∵MN⊥AB，

∴∠AMN=90°．

∵∠A=60°，

∴AM=x，MNx．

∵DH⊥AB，

∴DHADx．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD，CD∥AB，

∴∠DCM=∠BMC．

∵MC平分∠DCB，

∴∠DCM=∠BCM，

∴∠CMB=∠BCM，

∴BM=BC=AD=5x，

∴AB=6x．

∵平行四邊形ABCD的面積為60，

∴ABDH=6xx=60，

∴x=2（負值舍去），

∴MN的長度為2；

（2）連接CG，BG．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD．

∵AE=AD=DF，

∴四邊形AEFD是菱形，

∴AD=EF=DF，AD∥EF，

∴∠BEF=∠A=∠CDG=60°．

在△FDG與△FEB中，

∵，

∴△FDG≌△FEB（ASA），

∴DG=BE，

∴AG=AB，

∴△ABG是等邊三角形，

∴BG=AB=CD，∠ABG=60°．

在△BGE與△CDG中，

∵，

∴△BGE≌△CDG，

∴GE=GC．

∵AD∥EF∥BC，AD=EF=BC，

∴四邊形EBCF是平行四邊形，

∴CO=OE，

∴GO⊥EC．