Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PO⊥AB，PE是⊙O的切線，交AB的延長線于點C，切點為E，AE交PO于點F．

（1）求證：PEF是等腰三角形；

（2）在圖中，作EH⊥AB，垂足為H，作弦BD∥PC，交EH于點G．若EG=5，sinC=，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）直徑AB的長為20m

【解析】

（1）由切線性質得：OE⊥PC，根據垂直定義和三角形定理可得：∠AEP=∠PFE，根據等角對等邊可得結論；
（2）先根據sinC==，設OH=3x，OE=5x，則EH=4x，OA=OB=5x，由平行線性質得：∠GBH=∠C，
列式為：
=，解方程可得結論．

（1）證明：∵PE為⊙O的切線，

∴OE⊥PC，

∴∠OEP=90°，

∴∠OEA+∠AEP=90°，

∵OP⊥AC，

∴∠AOF=90°，

∴∠A+∠AFO=90°，

∵∠AFO=∠PFE，

∴∠PFE+∠A=90°，

∵OA=OE，

∴∠A=∠OEA，

∴∠AEP=∠PFE，

∴PE=PF；

∴△PEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠C+∠COE=90°，∠COE+∠OEH=90°，

∴∠C=∠OEH，

∵sin∠C==sin∠OEH=，

設OH=3x，OE=5x，則EH=4x，OA=OB=5x，

∴BH=OB﹣OH=2x，GH=4x﹣5，

∵BG∥PC，

∴∠GBH=∠C，

∵sin∠C=，

∴tan∠C==tan∠GBH，

∴，x=2，

∴AB=10x=20，

答：直徑AB的長為20m．