Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點B、C（點B在點C的左側），與y軸相交于點A，點D為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點E．

（1）如圖1，當AO+BC＝7時，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點F是拋物線的對稱軸右側一點，連接BF、CF、DF，過點F作FH∥x軸交DE于點H，當∠BFC＝∠DFB+∠BFH＝90°時，求點H的縱坐標；

（3）如圖3，在（1）的條件下，點P是拋物線上一點，點P、點A關于直線DE對稱，點Q在線段AP上，過點P作PR⊥AP，連接BQ、QR，滿足QB平分∠AQR，tan∠QRP＝，點K在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，當CK＝BQ時，求線段DK的長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）1；（3）7

【解析】

（1）根據拋物線與軸相交于點、（點在點的左側），與軸相交于點，點為拋物線的頂點，，可以求得的值，從而可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據題意和三角形相似，作出合適的輔助線，可以求得點的縱坐標；

（3）根據在（1）的條件下，點是拋物線上一點，點、點關于直線對稱，點在線段上，過點作，連接、，滿足平分，，點在拋物線的對稱軸上且在軸下方，，利用勾股定理和三角形的全等可以求得線段的長．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2＝﹣（x﹣3m）（x+m），

∴當x＝0時，y＝3m2，當y＝0時，x＝3m或x＝﹣m，該拋物線的頂點坐標為（m，4m2），

∵拋物線y＝﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點B、C（點B在點C的左側），與y軸相交于點A，點D為拋物線的頂點，

∴點A（0，3m2），點B（﹣m，0），點C（3m，0），點D（m，4m2），

∴AO＝3m2，BC＝4m，

∵AO+BC＝7，

∴3m2+4m＝7，

解得，m1＝1，m2＝﹣（舍去），

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）連接EF，如圖2所示，

∵點B（﹣m，0），點C（3m，0），點D（m，4m2），點E是對稱軸與x軸的交點，

∴BE＝CE＝2m，BC＝4m，

∵∠BFC＝90°，

∴EF＝BC＝2m，

∵HF∥x軸，

∴∠HFB＝∠FBE，

∵EF＝BE，

∴∠FBE＝∠BFE，

∴∠HFB＝∠BFE，

∵∠DFB+∠BFH＝90°，

∴∠DFB+∠BFE＝90°，

∴∠DFE＝90°，

∵∠DFE＝∠FHE＝90°，∠DEF＝∠FEH，

∴△DFE∽△FHE，

，

，

解得，EH＝1，

∴點E的縱坐標為1；

（3）如圖3，過點B作BM⊥PA交PA的延長線于點M，作BG⊥QR于點G，延長PR交x軸于點N，連接BR，

則四邊形MBNP是矩形，

由（1）知點A（0，3），點D（1，4），點B（﹣1，0），點C（3，0），

∵點P與點A關于直線DE對稱，

∴點P的坐標為（2，3），

∴點N（2，0）

∴BM＝BN＝3，

∴四邊形MBNP是正方形，

∵QB平分∠AQR，

∴BM＝BG，

∴BG＝BN，

∵∠MQB＝∠GQB，∠QMB＝∠QGB＝90°，QB＝QB，

∴△MQB≌△GQB（AAS），

∴MQ＝GQ，

同理可證，△BGR≌△BNR，

∴GR＝NR，

∵tan∠QRP＝，

∴設PQ＝5k，則PR＝12k，QR＝13k，

∵MP＝3，

∴MQ＝3﹣5k，

∵NP＝3，

∴RN＝3﹣12k，

∵QR＝QG+GR，MQ＝GQ，GR＝NR，

∴13k＝3﹣5k+3﹣12k，

解得，k＝，

∴PQ＝1，MQ＝2，

∵CE＝BE＝2，

∴CE＝MQ，

∵CK＝BQ，

∴Rt△BMQ≌Rt△KEC（HL），

∴BM＝EK＝3，

∴DK＝DE+EK＝4+3＝7．