Question

【題目】如圖，已知直線lAC：y=﹣交x軸、y軸分別為A、C兩點，直線BC⊥AC交x軸于點B．

（1）求點B的坐標及直線BC的解析式；

（2）將△OBC關于BC邊翻折，得到△O′BC，過點O′作直線O′E垂直x軸于點E，F是y軸上一點，P是直線O′E上任意一點，P、Q兩點關于x軸對稱，當|PA﹣PC|最大時，請求出QF+FC的最小值；

（3）若M是直線O′E上一點，且QM=3，在（2）的條件下，在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以Q、F、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（6，0）；y=x﹣2；（2）5；（3）（6，3）或（0，）或（0，7）或（6，9）.

【解析】

（1）利用待定系數法求出A、C兩點坐標，再根據兩直線垂直k的乘積為-1，求出直線BC的解析式即可解決問題；

（2）首先證明∠ACO=30°，如圖，作QH⊥AC于H，交y軸于F．則FH=CF，根據垂線段最短可知，QF+FC的最小值為線段HQ的長；

（3）求出點M坐標分兩種情形分別討論求解即可.

解：（1）由題意A（﹣2，0），C（0，﹣2），

∵直線lAC：y=﹣，BC⊥AC，

∴直線BC的解析式為y=x﹣2，

令y=0，解得x=6，

∴B（6，0）．

（2）∵△OBC關于BC邊翻折，得到△O′BC，

∴可得O′（3，﹣3），

當|PA﹣PC|最大時，點P在直線AC上，此時P（3，﹣5），

∵P、Q關于x軸對稱，

∴Q（3，5），

在Rt△AOC中，∵tan∠ACO==，

∴∠ACO=30°，

如圖，作QH⊥AC于H，交y軸于F．

則FH=CF，

根據垂線段最短可知，QF+FC的最小值為線段HQ的長，

在Rt△PQH中，∵∠HPQ=∠ACO=30°，PQ=10，

∴HQ=PQ=5，

∴QF+FC的最小值為5．

（3）由（2）可知：F（0，4），

∵QM=3，

∴M（3，2）或（3，8），

當M（3，2）時，如圖，以Q、F、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形，可得滿足條件的點N坐標為（6，3）或（0，）或（0，7）,

當M為（3，8）時，同法可得滿足條件的點N坐標為（6，9）或（0，7）或（0，）．