Question

【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點落在邊上的處，拆痕為．過點作交于，連接．

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當點在邊上移動時，折痕的端點、也隨之移動；

①當點與點重合時（如圖2），求菱形的邊長；

②若限定、分別在邊、上移動，求的內切圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）由折疊的性質得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行線的性質得出∠BPF＝∠EFP，證出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出結論；
（2）①由矩形的性質得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由對稱的性質得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝ADDE＝1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；
②當點Q與點C重合時，點E離點D最遠，此時Rt△CED的內切圓半徑最大；當點P與點A重合時，點E離點D最近，此時Rt△CED的內切圓半徑最小；據此求解可得．

證明：（1）∵折疊紙片使點落在邊上的處，折痕為，

∴，，，

∵，∴，∴，

∴，∴，

∴四邊形為菱形；

（2）解：①∵四邊形是矩形，

∴，，，

∵點與點關于對稱，∴，

在中，，

∴；

在中，，．

∴，

解得：，

∴菱形的邊長為；

②當點與點重合時，如圖，點離最遠，

此時的內切圓半徑最大；

由①知，在中，，；

∵∠D=∠OGD=∠OMD=90°,OG=OM

∴四邊形是正方形，

設正方形OMDG邊長為，則，．

∴，解得；

當點與點重合時，如圖所示：

點離點最近，此時的內切圓半徑最小；

可知，在中，，則；

同理得，易得四邊形是正方形，

設正方形邊長為，則，，

∴，解得；

∴內切圓半徑取值范圍為．