Question

【題目】如圖⊙O的直徑AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，交AB于E，P是AB延長線上一點，且PC＝PE．

(l)求證：PC是⊙O的切線；

(2)求AC、AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝8cm，AD＝5cm

【解析】

（1）連結OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性質得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，加上∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，則∠OCE+∠PCE＝90°，于是根據切線的判定定理可得PC為⊙O的切線；

（2）連結BD，如圖，根據圓周角定理由AB為直徑得∠ACB＝90°，則可利用勾股定理計算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根據圓周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，則△ADB為等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的長．

（1）證明：連結OC，如圖所示：

∵PC＝PE，

∴∠PCE＝∠PEC，

∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，

而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，

∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，

∴∠OCE+∠PCE＝90°，

即∠PCO＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC為⊙O的切線；

（2）連結BD，如圖所示，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，

∴AC＝＝8（cm）；

∵DC平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴∠DAB＝∠DBA＝45°

∴△ADB為等腰直角三角形，

∴（cm）．