Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM．

（1）如圖一，若點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如圖二，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需說明理由）
②是否存在滿足條件的點P，使得PC= ？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖一中

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM=∠PBC， ，

∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BN，

∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴ ，

∴ ，

∵AB=BC，

∴AN=AM．

（2）

解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如圖二中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM=∠PBC， ，

∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BN，

∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴ ，

∴

∵AB=BC，

∴AN=AM．

②這樣的點P不存在．

理由：假設PC= ，

如圖三中，

以點C為圓心 為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，

CO= = ＞1+ ，

∴兩個圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，

∴假設不可能成立，

∴滿足PC= 的點P不存在

【解析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出 = = ，由△BAP∽△BNA，推出 = ，得到 = ，由此即可證明．（2）①結論仍然成立，證明方法類似（1）．②這樣的點P不存在．利用反證法證明．假設PC= ，推出矛盾即可．本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質、圓的有關知識，解題的關鍵是熟練應用相似三角形性質解決問題，最后一個問題利用圓的位置關系解決問題，有一定難度，屬于中考壓軸題．