Question

【題目】在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，兩直角邊與AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，求證：BM＝CN．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

由題意可得AE＝DE＝AB＝CD，∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，可證△ABE≌△DCE，可得BE＝CE，由“ASA”可證△BEM≌△CEN，可得BM＝CN．

證明：如圖，連接BE，CE，

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°

∵AD＝2AB，E是AD的中點(diǎn)，

∴AE＝DE＝AB＝CD

∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，

∴∠BEC＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝90°

∵AB＝CD，∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，

∴△ABE≌△DCE（AAS）

∴BE＝CE，

∵∠BEN+∠CEN＝90°，∠BEM+∠BEN＝90°，

∴∠BEM＝∠CEN，且BE＝CE，∠ABE＝∠ECN，

∴△BEM≌△CEN（ASA）

∴BM＝CN