Question

【題目】如圖，函數y=（x<0）的圖像與直線y=-x交于A點，將線段OA繞O點順時針旋轉30°，交函數y=（x<0）的圖像于B點，得到線段OB，若線段AB=3-，則k= _______________________.

Answer 1

【答案】-3

【解析】

作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，AE⊥BD于E點，設A點坐標為（3a，-a），則OC=-3a，AC=-a，利用勾股定理計算出OA=-2a，得到∠AOC=30°，再根據旋轉的性質得到OA=OB，∠BOD=60°，易證得Rt△OAC≌Rt△BOD，OD=AC=-a，BD=OC=-3a，于是有AE=OC-OD=-3a+a，BE=BD-AC=-3a+a，即AE=BE，則△ABE為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到3-=（-3a+a），求出a=1，確定A點坐標為（3，-），然后把A（3，-）代入函數y=即可得到k的值．

作AC⊥x軸與C，BD⊥x軸于D，AE⊥BD于E點，如圖，

點A在直線y=-x上，可設A點坐標為（3a，-a），

在Rt△OAC中，OC=-3a，AC=-a，

∴OA==-2a，

∴∠AOC=30°，

∵直線OA繞O點順時針旋轉30°得到OB，

∴OA=OB，∠BOD=60°，

∴∠OBD=30°，

∴Rt△OAC≌Rt△BOD，

∴OD=AC=-a，BD=OC=-3a，

∵四邊形ACDE為矩形，

∴AE=OC-OD=-3a+a，BE=BD-AC=-3a+a，

∴AE=BE，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴AB=AE，即3-=（-3a+a），

解得a=1，

∴A點坐標為（3，-），

而點A在函數y=的圖象上，

∴k=3×（-）=-3．

故答案為-3．