Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的中垂線DE交于點E，過點E作AC邊的垂線，垂足為N，過點E作AB延長線的垂線，垂足為M.

(1)求證：BM=CN；

(2)若，AB=2，AC=8，求BM的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）3.

【解析】

（1）因為ED是BC的垂直平分線，那么BE=CE，而AE是∠BAC的平分線，EM⊥AB，EN⊥AC，根據角平分線的性質可得EM=EN，再根據HL可判定Rt△BME≌Rt△CNE，從而有BM=CN．

（2）同（1）中方法證明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），可得：AM=AN，又因為AM= AB+BM, AN= AC-CN，即可解答.

證明：連接BE，CE，如圖，

∴DE是BC的垂直平分線，
∴BE=CE，
∵AE是∠BAC的平分線，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，
在Rt△BME和Rt△CNE中，

∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴BM=CN

(2)由（1）得：EM=EN，

在Rt△AME和Rt△ANE中，

∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL），
∴AM=AN，又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN

∴AB+BM=AC-CN

∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN

∴BM=CN =3