Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，拋物線y=x2的頂點在直線AO上運動，與直線x=2交于點P，設平移后的拋物線頂點M的橫坐標為m．
（1）如圖1，若m=﹣1，求點P的坐標；
（2）在拋物線平移的過程中，當△PMA是等腰三角形時，求m的值；
（3）如圖2，當線段BP最短時，相應的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）設OA所在直線的函數解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數解析式為y=2x．
由題意，把x=﹣1，代入得，y=﹣2，
∴拋物線的頂點M（﹣1，﹣2），
∴拋物線解析式為：y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1，
當x=2時，y=7，
∴點P（2，7）；
（2）如圖1，

在拋物線平移的過程中，設頂點坐標（m，2m）當△PMA是等腰三角形時，
∴有PA=PM，
由點A（2，4），
可求：tan∠A=，cos∠A=，
過點M作MN垂直于直線x=2，過點P作PH⊥AM，連接MP，
拋物線解析式為：y=（x﹣m）2+2m，
當x=2時，y=m2﹣2m+4，
此時，MN=2﹣m，AN=4﹣2m，
AP=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m，
∴AH=AP×=，
AM=2AH=，
∴=，
代入解得：m=，或m=2（舍去）
∴m=；
（3）如圖2，

∵頂點M的橫坐標為m，且在直線OA上移動，
∴y=2m．
∴頂點M的坐標為（m，2m）．
∴拋物線函數解析式為y=（x﹣m）2+2m．
∴當x=2時，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4．
∴點P的坐標是（2，m2﹣2m+4）．
∵PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，
∴當m=1時，PB最短．
當線段PB最短時，此時拋物線的解析式為y=（x﹣1）2+2
即y=x2﹣2x+3．
假設在拋物線上存在點Q，使S△QMA=S△PMA ．
設點Q的坐標為（x，x2﹣2x+3）．
①點Q落在直線OA的下方時，過P作直線PC∥AO，交y軸于點C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C點的坐標是（0，﹣1），
∵點P的坐標是（2，3），
∴直線PC的函數解析式為y=2x﹣1，
∵S△QMA=S△PMA ，
∴點Q落在直線y=2x﹣1上，
∴x2﹣2x+3=2x﹣1，
解得x1=2，x2=2，
即點Q（2，3），
∴點Q與點P重合，
∴此時拋物線上存在點Q（2，3），使△QMA與△APM的面積相等，
②當點Q落在直線OA的上方時，
作點P關于點A的對稱稱點D，過D作直線DE∥AO，交y軸于點E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐標分別是（0，1），（2，5），
∴直線DE函數解析式為y=2x+1，
∵S△QMA=S△PMA ，
∴點Q落在直線y=2x+1上，
∴x2﹣2x+3=2x+1，
解得：x=2+，或x=2-，
代入y=2x+1，得：y=5+2或y=5-2，
∴△QMA的面積與△PMA的面積相等時，點Q的坐標為：（2+，5+2），（2-，5-2）．
【解析】（1）先求出直線OA的解析式，代入m=﹣1，求出拋物線的頂點坐標，即可求出拋物線解析式；
（2）過點M作MN垂直于直線x=2，過點P作PH⊥AM，連接MP，設出拋物線頂點坐標，表示PA，AM，MN，的長度，結合∠A的三角函數列出方程求解即可；
（3）先求出BP最短時的拋物線解析式，設出點Q坐標，根據題意構造平行線，分Q在直線OA的上方和下方兩種情況分別列式求解即可．