Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點D與點B分別位于直線AC的兩側，且AD＝AC，連結BD、CD，BD交直線AC于點E．

（1）當∠CAD＝90°時，求線段AE的長．

（2）過點A作AH⊥CD，垂足為點H，直線AH交BD于點F，

①當∠CAD＜120°時，設AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面積，S△AEF表示△AEF的面積），求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

②當時，請直接寫出線段AE的長．

Answer 1

【答案】（1）4﹣2；（2）①y＝（0＜x＜2）；②AE的長為1或．

【解析】

（1）先證明∠EBC＝45°，過點E作EG⊥BC，垂足為點G．AE＝x，則EC＝2﹣x．根據BG＝EG構建方程求出x即可得出答案．

（2）①證明△AEF∽△BEC，可得，由此構建關系式即可解決問題．

②分兩種情形：當∠CAD＜120°時，當120°＜∠CAD＜180°時，分別得出方程求解即可

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵AD＝AC，

∴AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，

∴∠EBC＝45°．

過點E作EG⊥BC，垂足為點G．

設AE＝x，則EC＝2﹣x．

在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，

∴EG＝ECsin∠ACB＝（2﹣x），CG＝ECcos∠ACB＝1﹣x，

∴BG＝2﹣CG＝1+x，

在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，

∴1+（2﹣x），

解得x＝4﹣2．

∴線段AE的長是4﹣2．

（2）①當∠CAD＜120°時，

設∠ABD＝α，則∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．

∵AD＝AC，AH⊥CD，

∴∠CAF＝∠DAC＝60°﹣α，

又∵∠AEF＝60°+α，

∴∠AFE＝60°，

∴∠AFE＝∠ACB，

又∵∠AEF＝∠BEC，

∴△AEF∽△BEC，

∴，

由（1）得在Rt△CGE中，BG＝1+x，EG＝（2﹣x），

∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，

∴y＝（0＜x＜2）．

②如圖

y＝，則有，

整理得3x2+x﹣2＝0，

解得x＝或﹣1（舍去），

∴AE＝．

當120°＜∠CAD＜180°時，同法可得y＝，

當y＝時，，

整理得3x2﹣x﹣2＝0，

解得x＝﹣（舍去）或1，

∴AE＝1．

綜合以上可得AE的長為1或．