Question

【題目】如圖，為了測量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為450 ，然后他沿著正對樹PQ的方向前進10m到達B點處，此時測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是600和300，設PQ垂直于AB，且垂足為C.

（1）求∠BPQ的度數；

（2）求樹PQ的高度（結果精確到0.1m， ）

Answer 1

【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）樹PQ的高度約為15.8m.

【解析】 (1）根據題意題可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC中，根據三角形內角和定理即可得∠BPQ度數；

（2）設CQ=x，在Rt△QBC中，根據30度所對的直角邊等于斜邊的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根據角的計算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角對等邊得PQ=BQ=2x，用含x的代數式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再將x值代入PQ代數式求之即可.

（1）依題可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，

在Rt△PBC中，

∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，

∴∠BPQ=30°；

（2）設CQ=x，

在Rt△QBC中，

∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，

∴BQ=2x，BC=x，

又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，

∴∠PBQ=30°，

由（1）知∠BPQ=30°，

∴PQ=BQ=2x，

∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，

又∵∠A=45°，

∴AC=PC，

即3x=10+x，

解得：x=，

∴PQ=2x=≈15.8（m），

答：樹PQ的高度約為15.8m.