Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E，F分別在BC和CD上，下列結論：①CE=CF；②BD=1+；③BE+DF=EF；④∠AEB=75°．其中正確的序號是______．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°判斷④的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷③的正誤，根據三線合一的性質，可判定AC⊥EF，然后分別求得AG與CG的長，繼而求得答案．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，，

∴Rt△ABERt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴BC-BE=CD-DF，

∴CE=CF，故①正確；

∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，故④正確；

如圖，連接AC，交EF于G點，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，故③錯誤；

∵△AEF是邊長為2的等邊三角形，∠ACB=∠ACD，

∴AC⊥EF，EG=FG，

∴AG=AEsin60°=2×=，CG=EF=1，

∴AC=AG+CG=+1；故②正確．

故答案為：①②④．