Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與AC的垂直平分線相交于點D，過點D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分別為F、G．

（1）求證：AG=CF；

（2）若BG=5，AC=6，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ABC的周長為16．

【解析】

（1）連接AD、DC，根據角平分線的性質和中垂線的性質得DG=DF，DA=DC，進而得Rt△DGA≌Rt△DFC，即可得到結論；

（2）先證Rt△BDG≌Rt△BDF，得BG=BF，結合AG=CF，進而即可得到答案．

（1）連接AD、DC．

∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，

∴DG=DF．

∵D在AC的中垂線上，

∴DA=DC．

在Rt△DGA與Rt△DFC中，

∵DG=DF，DA=DC，

∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）

∴AG=CF；

（2）由（1）知DG=DF．

又∵BD=BD，

∴Rt△BDG≌Rt△BDF，

∴BG=BF．

又∵AG=CF，

∴C△ABC=AB＋BC＋AC=BG－AG＋BF＋FC＋AC=2BG＋AC=2×5＋6=16．

答：△ABC的周長為16．