Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足為D，點P是邊AB上的一個動點，過點P作PF∥AC交線段BD于點F，作PG⊥AB交AD于點E，交線段CD于點G，設BP=x.

（1）用含x的代數式表示線段DG的長；

（2）設△DEF的面積為 y，求y與x之間的函數關系式，并寫出定義域；

（3）△PEF能否為直角三角形？如果能，求出BP的長；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）能，或

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質可得BD=3，通過證明△ABD∽△GBP，可得BG=BP=x，即可得DG的長度；

（2）根據相似三角形的性質可得FD=BD-BF=3-x，DE=x-，根據三角形面積公式可求y與x之間的函數關系式；

（3）分EF⊥PG，EF⊥PF兩種情況討論，根據相似三角形的性質可求BP的長．

（1）∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，

∴BD=CD=3，

在Rt△ABD中，AD==4，

∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，

∴△ABD∽△GBP，

∴，

∴BG=BP=x，

∴DG=BG-BD=x-3；

（2）∵PF∥AC，

∴△BFP∽△BCA，

∴，

即，

∴BF=x，

∴FD=BD-BF=3-x，

∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，

∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90°，

∴△DEG∽△DBA，

∴，

∴，

∴DE=x-，

∴S△DEF=y=×DF×DE=×（3-x）×（x-）=-x2+x-（＜x＜）；

（3）若EF⊥PG時，

∵EF⊥PG，ED⊥FG，

∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，

∴∠EFD=∠DEG，且∠EDF=∠EDG，

∴△EFD∽△GDE，

∴，

∴ED2=FD×DG，

∴（x-）2=（3-x）（x-3），

∴5×57x2-1138x+225×5=0，

∴x=（不合題意舍去），x=；

若EF⊥PF，

∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，

∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，

∴△EDF∽△CDA，

∴，

∴，

∴x=，

綜上所述：當BP為或時，△PEF為直角三角形．