Question

【題目】如圖，已知銳角△ABC內接于⊙O，連接AO并延長交BC于點D．

（1）求證:∠ACB+∠BAD=90°；

（2）過點D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求證：AC=2DE.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）延長AD交⊙O于點F，連接BF．根據直徑對的圓周角是直角得出∠ABF=90°，∠AFB +∠BAD=90°，同弧所對的圓周角相等∠AFB=∠ACB，即可證明.

（2）如圖2中，過點O作OH⊥AC于H，連接BO．證明即可解決問題．

試題解析:（1）證明：延長AD交⊙O于點F，連接BF．

∵AF為⊙O的直徑，

∴∠ABF=90°，

∴∠AFB +∠BAD=90°，

∵∠AFB=∠ACB，

∴∠ACB+∠BAD=90°．

（2）證明：如圖2中，過點O作OH⊥AC于H，連接BO．

∵∠AOB=2∠ACB，

∠ADC=2∠ACB，

∴∠AOB=∠ADC，

∴∠BOD=∠BDO，

∴BD=BO，

∴BD=OA,

∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，

∴DE=AH，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=AC，∴AC=2DE．