Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2， AB＝4，作∠ACB的外角平分線CF，點E從點B沿著射線BA以每秒2個單位的速度運動，過點E作BC的平行線交CF于點F．

（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）當點E是邊AB的中點時，連接AF，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（3）設運動時間為t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形？不存在的，試說明理由；存在的，請直接寫出t的值．答：t＝________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形AECF是矩形，理由見解析；（3）秒或5秒或2秒

【解析】

（1）已知EF∥BC，結合已知條件利用兩組對邊分別平行證明BCFE是平行四邊形；因為AC=BC，等角對等邊，得∠B＝∠BAC，CF平分∠ACH，則∠ACF＝∠FCH，結合∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，等量代換得∠FCH＝∠B，則同位角相等兩直線平行，得BE∥CF，結合EF∥BC，證得四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）先證∠AED=90°，再證四邊形AECF是平行四邊形，則四邊形AECF是平行四邊形是矩形；AC＝BC，E是AB的中點，由等腰三角形三線合一定理知CE⊥AB，因為四邊形BCFE是平行四邊形，得CF＝BE＝AE，AE∥CF，一組對邊平行且相等，且有一內角是直角，則四邊形AECF是矩形；

（3）分三種情況進行①以EF和CF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，則鄰邊BE=BC，這時根據S=vt=2t=, 求出t即可；②以CE和CF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，過C作CD⊥AB于D，AC=BC，三線合一則BD的長可求，在Rt△BDC中運用勾股定理求出CD的長，把ED長用含t的代數式表示出來，現知EG=CF=EC=EB=2t，在Rt△EDC中，利用勾股定理列式即可求出t；③以CE和EF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，則CA＝AF＝BC，此時E與A重合，則2t=AB=4, 求得t值即可.

（1）證明：如圖1，∵AC＝BC，

∴∠B＝∠BAC，

∵CF平分∠ACH，

∴∠ACF＝∠FCH，

∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，

∴∠FCH＝∠B，

∴BE∥CF，

∵EF∥BC，

∴四邊形BCFE是平行四邊形

（2）解：四邊形AECF是矩形，理由是：

如圖2，∵E是AB的中點，AC＝BC，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

由（1）知：四邊形BCFE是平行四邊形，

∴CF＝BE＝AE，

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是矩形

（3）秒或5秒或2秒

分三種情況：

①以EF和CF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖3，

∴BE＝BC，即2t＝2 ，

t＝ ；

②以CE和CF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖4，過C作CD⊥AB于D，

∵AC＝BC，AB＝4，

∴BD＝2，

由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，

∵EG2＝EC2 ， 即（2t）2＝62+（2t﹣2）2 ，

t＝5；

③以CE和EF兩邊為鄰邊所構造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖5，CA＝AF＝BC，此時E與A重合，

∴t＝2，

綜上，t的值為秒或5秒或2秒；

故答案為： 秒或5秒或2秒．