Question

【題目】如圖，△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，點E、F同時分別從點B、A出發，各自沿BA、AD方向運動到點A、D停止，運動的速度相同，連接EC、FC．

（1）在點E、F運動過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由；

（2）在點E、F運動過程中，以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積變化了嗎？請說明理由；

（3）連接EF，在圖中找出和∠ACE相等的所有角，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ECF不變為60°．理由見解析；（2）不變化．理由見解析；（3）∠ACE=∠FCD=∠AFE．理由見解析.

【解析】

（1）根據SAS證明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，從而證明結論；

（2）結合（1）中證明的全等三角形，即可發現以點A、E、C、F為頂點的四邊形的面積即為△ABC的面積；

（3）根據等邊三角形的判定可以證明△ECF是等邊三角形，再進一步根據平角定義，得到∠AFE+∠DFC=120°，則∠AFE=∠FCD，從而求解．

解：（1）∠ECF不變為60°．

理由如下：

∵△ABC和△ADC都是邊長相等的等邊三角形，

∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，

又∵E、F兩點運動時間、速度相等，

∴BE=AF，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠ECB=∠FCA．

所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；

（2）不變化．理由如下：

∵四邊形AECF的面積=△AFC的面積+△AEC的面積，△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面積+△BEC的面積=△ABC的面積；

（3）證明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，

∴△CEF為等邊三角形，

∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠ECF-∠ACF=∠ACD-∠ACF，即∠AFE=∠FCD，

所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．