Question

某住宅小區，為美化環境，提高居民區生活質量，要建一個八邊形居民廣場（平面圖如圖所示），其中，正方形MNPQ與四個相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800平方米．
（1）設矩形的邊長AB=x（米），AM=y（米），用含x的代數式表示y；
（2）現計劃在正方形區域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元，在四個相同的矩形區域上鋪設花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元，在四個三角形區域上鋪設草坪，平均每平方米造價為40元．
①設該工程的總造價為S（元），求S關于x的函數關系式；
②若該工程的銀行貸款為235000元，問僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設任務？若能，請列出設計方案；若不能請說明理由；
③若該工程在銀行貸款的基礎上，又增加獎金73000元，問能否完成該工程的建設任務？若能，請列出所有可能的設計方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據四個矩形都相同，因此四個直角三角形的直角邊都相等，那么可根據4個矩形的面積+中間的正方形的面積=800來列出關于x、y的函數關系式；
（2）①（1）中已得出了矩形的長，那么根據總造價S=4個矩形區域的造價+正方形區域的造價+4個直角三角形區域的造價，來列出關于S、x的函數關系式；
②可將①得出的二次函數式轉換成頂點式的表達式，然后看看二次函數的最小值是否超過235000即可；
③根據②即可判定出增加獎金后能否完成該工程，如果能只需將S=235000+73000代入函數式中求出x的值即可得出所求的方案．

解答：解：（1）y=

800-x2

4x

（0＜x＜20

2

）；

（2）①S=2100x²+105×4xy+40×4×

1

2

y²=2000x²+

3200000

x2

+76000（0＜x＜20）；
②∵S=2000（x²+

1600

x2

-80）+76000+2000×80=2000（x-

40

x

）²+236000＞235000
∴僅靠銀行貸款不能完成該工程的建設任務；
③由S=235000+73000=308000
得：2000x²+

320000

x2

+76000=308000
即x²-116+

1600

x2

=0
設x²=t，得t²-116t+1600=0
解得：t₁=100，t₂=16
當t=100時，x²=100，x=10（負數不合題意，舍去）此時y=17.5；
當t=16時，x²=16，x=4（負數不合題意，舍去），此時y=49．
因此設計方案應為：
1．正方形區域的邊長為10米；
四個相同的矩形區域的長和寬分別為17.5米和10米；
四個相同的三角形區域的直角邊長均為17.5米．
2．正方形區域的邊長為4米；
四個相同的矩形區域的長和寬分別為49米和4米；
四個相同的三角形區域的直角邊長均為49米．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，本題中二次函數式較復雜，但是只要抓住其特點即可正確進行解答．