Question

【題目】如圖，已知拋物線與y軸交于點，與x軸交于點，點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．

求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；

當點P移動到拋物線的什么位置時，使得，求出此時點P的坐標；

當點P從A點出發沿線段AB上方的拋物線向終點B移動，在移動中，點P的橫坐標以每秒1個單位長度的速度變動；與此同時點M以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動，點P，M移動到各自終點時停止當兩個動點移動t秒時，求四邊形PAMB的面積S關于t的函數表達式，并求t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為，拋物線的頂點坐標為；（2）P點坐標為；（3）當時，S有最大值，最大值為24．

【解析】分析：（1）由A、B坐標，利用待定系數法可求得拋物線的表達式，化為頂點式可求得頂點坐標；

（2）過P作PC⊥y軸于點C，由條件可求得∠PAC=60°，可設AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長，從而可用m表示出P點坐標，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點坐標；

（3）用t可表示出P、M的坐標，過P作PE⊥x軸于點E，交AB于點F，則可表示出F的坐標，從而可用t表示出PF的長，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S關于t的二次函數，利用二次函數的性質可求得其最大值．

詳解：根據題意，把，代入拋物線解析式可得，解得，

拋物線的表達式為，

，

拋物線的頂點坐標為；

如圖1，過P作軸于點C，

，

，

當時，，

，即，

設，則，

，

把P點坐標代入拋物線表達式可得，解得或，

經檢驗，與點A重合，不合題意，舍去，

所求的P點坐標為；

當兩個動點移動t秒時，則，，

如圖2，作軸于點E，交AB于點F，則，

，

，

點A到PE的距離竽OE，點B到PE的距離等于BE，

，且，

，

當時，S有最大值，最大值為24．