Question

【題目】據我囯古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三，股四、弦五”.像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的三個正整數，稱為勾股數.

（應用舉例）

觀察3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；…

可以發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，并且勾為3時，股，弦；勾為5時，股，弦；

請仿照上面兩組樣例，用發現的規律填空：

（1）如果勾為7，則股24=__________；弦25=___________.

（2）如果勾用（，且為奇數）表示時，請用含有的式子表示股和弦，則股=________；弦=_______.

（3）繼續觀察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過.請你直接用（為偶數且）的代數式來表示直角三角形的另一條直角邊和弦的長.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；；（3）；.

【解析】

（1）根據所提供的例子發現股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；

（2）股是勾的平方減去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．

（3）根據題意，得另一條直角邊是一條直角邊的二分之一的平方減去1，弦是一條直角邊的二分之一的平方加上1.

（1）∵勾為3時，股，弦；勾為5時，股，弦；

∴勾為7，股24的算式為，弦25的算式為；

故答案為；；

（2）由題意，得股的算式為；弦的算式為

故答案為；；

（3）由題意，得另一條直角邊的代數式為；

弦長的代數式為

故答案為；.