Question

【題目】已知，在中，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．

（1）如圖①，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形是平行四邊形；

（2）如圖②，若，求的值．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析：（1）證明DE∥BC，DE=BC即可；

(2) 如圖，作DF⊥AB于F，EM⊥AC于M，延長(zhǎng)BD交EA于G．設(shè)BD=AD=x，則CD=8-x，在Rt△BDC中，可得x2=（8-x）2+42，推出x=5，在中，，故，由，得，由∽，可得，由此求出AE，由∽，可得，由此求出AM，可得MC , 易證四邊形是矩形，由此即可解決問題．

詳解：（1）證明：在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴

∴是等腰直角三角形，

∴.

由折疊得：，

∴，

∴，

∴，

又，

∴四邊形是平行四邊形；

（2）如圖

連接，分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為等腰三角形，.

設(shè)，則，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴，即.

在中，，

∴，

∵，

∴，

在中， ，

由∽，可得，

∴

∴，又.

∴，

由∽，可得

∴ ∴，

∴，

易證四邊形是矩形，

∴. 又∵

∴ .