Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到點A、B和D的距離分別為1，2 ， ，△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連結(jié)PP′，并延長AP與BC相交于點Q．
（1）求證：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形

（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′= PA= ，∠APP′=45°，

∵△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，

∴PD=P′B= ，

在△PP′B中，PP′= ，PB=2 ，P′B= ，

∵（ ）2+（2 ）2=（ ）2，

∴PP′2+PB2=P′B2，

∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，

∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判斷△APP′是等腰直角三角形；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′= PA= ，∠APP′=45°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PD=P′B= ，接著根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定義計算∠BPQ的度數(shù)．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．