Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.

(1) 求證：AHAB=AC2；

(2) 若過A的直線與弦CD(不含端點)相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AEAF=AC2；

(3) 若過A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）成立.

【解析】

（1）連接CB，證明△CAH∽△BAC即可；
（2）連接CF，證△AEC∽△ACF，根據射影定理即可證得；
（3）由（1）（2）的結論可知，APAQ=AC2成立．

(1) 連結CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC .

∴， 即AHAB=AC2 .

(2) 連結FB，易證△AHE∽△AFB，

∴ AEAF=AHAB，

∴ AEAF=AC2 .

(也可連結CF，證△AEC∽△ACF)

(3) 結論APAQ=AC2成立 .