Question

（2013•盤錦）如圖，正方形ABCD的邊長是3，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側，連接EF，CF．
（1）如圖?，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；
（2）如圖?，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由；
（3）在（2）的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時BP長；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質就可以得出結論；
（2）由正方形的性質可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質就可以得出結論；
（3）設BP=x，則PC=3-x  平行四邊形PEFC的面積為S，由平行四邊形的面積公式就可以求出其解析式，再根據二次函數的性質就可以求出其最大值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中，

AB=BC ∠PBA=∠ABC BP=BF

，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．   
∵PA=PE，
∴PE=FC．        
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠FCB+∠APB=90°．                                
∵∠EPA=90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，
即∠EPC+∠PCF=180°，
∴EP∥FC，
∴四邊形EPCF是平行四邊形；

（2）結論：四邊形EPCF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°    
∵在△PBA和△FBC中，
 

AB=BC ∠PBA=∠ABC BP=BF

，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．                                     
∵PA=PE，
∴PE=FC．               
∵∠FCB+∠BFC=90°，
∠EPB+∠APB=90°，
∴∠BPE=∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四邊形EPCF是平行四邊形；

（3）設BP=x，則PC=3-x  平行四邊形PEFC的面積為S，
 S=PC•BF=PC•PB=（3-x）x
=-（x-

3

2

）²+

9

4

．
∵a=-1＜0，
∴拋物線的開口向下，
∴當x=

3

2

時，S最大=

9

4

，
∴當BP=

3

2

時，四邊形PCFE的面積最大，最大值為

9

4

．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，平行四邊形的面積公式的運用，二次函數的性質的運用，解答時靈活運用平行四邊形的判定方法是關鍵．