Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，點A關于BE的對稱點為G（G在矩形ABCD內部），連接BG并延長交CD于F．

（1）如圖1，當AB＝AD時，

①根據題意將圖1補全；

②直接寫出DF和GF之間的數量關系．

（2）如圖2，當AB≠AD時，如果點F恰好為DC的中點，求的值．

（3）如圖3，當AB≠AD時，如果DC＝nDF，寫出求的值的思路（不必寫出計算結果）．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②DF＝GF；（2）；（3）見解析．

【解析】

解：（1）①根據題意作出圖形即可；

②連接EG，EF，根據矩形的性質得到∠BAD=∠D=90°，由點A關于BE的對稱點為G，得到AE=EG，由E是AD的中點，等量代換得到DE=EG，推出Rt△DEF≌Rt△GEF，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖2，連接EF，EG，由四邊形ABCD是矩形，得到∠A=∠D=∠C=90°，由點A關于BE的對稱點為G，得到EG=AE，∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°，推出Rt△EGF≌Rt△EDF，根據全等三角形的性質得到GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y，根據勾股定理列方程得到，于是得到結論；

（3）根據題意寫出解題思路即可．

解：（1）①如圖1；

②連接EG，EF，

在矩形ABCD中，

∵∠BAD＝∠D＝90°，

∵點A關于BE的對稱點為G，

∴AE＝EG，

∵E是AD的中點，

∴A＝DE，

∴DE＝EG，

在Rt△DEF與Rt△GEF中，，

∴Rt△DEF≌Rt△GEF，

∴DF＝GF；

（2）如圖2，連接EF，EG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，

∵E是AD的中點，

∴AE＝ED＝AD，

∵點A關于BE的對稱點為G，

∴EG＝AE，∠EGB＝∠EGF＝∠A＝∠D＝90°，

∴EG＝ED，∠EGF＝∠D＝90°，

∵EF＝EF，

在Rt△DEF與Rt△GEF中，，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，

∴GF＝DF，

設DF＝x，BC＝y，則有GF＝x，AD＝y，

∵F是DC的中點，

∴DC＝2DF，

∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝2x，

∴BF＝BG+GF＝3x，

在Rt△BCF中，∠C＝90°，

由勾股定理得BC2+CF2＝BF2，

即y2+x2＝（3x）2，

∴，

∴；

（3）求的值的思路如下：

a．如圖3，連接EF和EG，由（2）可知GF＝DF；

b設DF＝x，BC＝y，則有GF＝x，AD＝y，由DC＝nDF，可用含有n和x的代數式表示BF；

c．利用勾股定理，用含有n和x的代數式表示y；

d計算出結果．