Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）直線BF垂直于CE于點F，交CD于點G（如圖l），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段（不需要添加輔助線），并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點D是AB中點，AC=BC，

∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG

（2）解：BE=CM．

理由：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，

，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM

【解析】（1）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；（2）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．
【考點精析】利用等腰直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．