Question

如圖，已知矩形DEFG內接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，S矩形DEFG=

45

4

，則矩形的邊長DG=

 

．

Answer 1

分析：作輔助線，作AM⊥BC于M，交DG于N，根據△ADG∽△ABC得出對應邊成比例，再設DE=x，根據矩形面積得DG，又因為∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，求得AM，再將①式化簡即可．

解答：解：如圖，作AM⊥BC于M，交DG于N，
在矩形DEFG中，DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DG

BC

①，
設DE=x，
∵S矩DEFG=DE•DG=

45

4

，
∴DG=

45

4x

cm，
又∵∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=

AB2+AC2

=10cm，
∵S△ABC=

1

2

BC•AM=

1

2

AB•AC，
∴AM=

AB•AC

BC

=

24

5

，
AN=AM-x=

24

5

-x，
∴①式可化為

24 5 -x

24 5

=

45 4x

10

，
∴5x²-24x+27=0，解得x1=3，x2=1

4

5

，
∴DE長為3cm或1

4

5

cm，
當DE=3cm時，DG=3

3

4

cm，
當DG=

9

5

cm時，DG=6

1

4

cm．
故答案為：3

3

4

或6

1

4

cm．

點評：此題涉及到的知識點較多，有相似三角形的判定與性質，平行線的性質，三角形的面積．勾股定理，矩形的性質等，綜合性較強，有一定的難度，是一道難題．