Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，過，，三點作圓，點在第一象限部分的圓上運動，連結，過點作的垂線交的延長線于點，下列說法：①；②；③的最大值為10.其中正確的是（ ）

A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AB，由題意得AB為圓的直徑，根據同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，根據圓周角定理得∠OCB=∠OAB，可推出∠OBA=∠D，根據勾股定理求出AB，可出sin∠D的值，證出△OCD∽△OAB，則 ，OC取最大值等于直徑時CD的值最大.

解：連接AB，

∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，

∴∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC =90°，

∴∠AOC=∠BOD，①正確；

∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，

∴∠OCB+∠D=90°，∠OAB+∠OBA =90°，

∵∠OCB=∠OAB，

∴∠OBA=∠D，

∵OA=2，OB=4，AB= ，

∴sin∠D=sin∠OBA= ，②錯誤；

∵∠DOC=∠BOA=90°，∠OCB=∠OAB，

∴△OCD∽△OAB，

∴

∵∠BOA=90°，

∴AB為圓的直徑，

∴OC取最大值等于直徑AB時CD的值最大，

∴CD的最大值 ，③正確.

故選：C.