Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；
（3）設CE=x，BF=y，寫出y關于x的函數關系式（直接寫出結果可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F與B重合，且EF⊥DE，

∴DE⊥BC，

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=9，

∴CE=12﹣9=3

（2）解：作DH⊥BC于H，

則DH=AB=7，CH=3．

設AF=CE=x，

∵F在線段AB上，

∴點E在線段BH上，CH=3，CE=x，

∴HE=x﹣3，BF=7﹣x，

∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，

∴∠BEF=∠HDE，

又∵∠B=∠DHE=90°，

∴△BEF∽△HDE，

∴ ，

∴ ，

整理得x2﹣22x+85=0，

（x﹣5）（x﹣17）=0，

∴x=5或17，

經檢驗，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．

∴x=CE=5．

（3）解：作DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，

∴則HE=x﹣3，BF=y，

當3≤x≤12時，

易證△BEF∽△HDE，

∴ = ，

∴y=﹣ x2+ x﹣ ，

當0≤x＜3，

易證△BEF∽△HDE，

則HE=3﹣x，BF=y，

∴ = ，

∴y= x2﹣ x+ ，

∴y= ．

【解析】（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC﹣AD，繼而即可求出答案；（2）設AF=CE=x，則HE=x﹣3，BF=7﹣x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據對應邊成比例，然后代入求解即可；（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．
【考點精析】利用直角梯形和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一腰垂直于底的梯形是直角梯形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．