Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.5；（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

【解析】試題分析：（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案；

（2）根據已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；

（3）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，

∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

（3）解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

證明：當O為AC的中點時，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．