Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延長CA到O，使AO=AC，以O為圓心，OA長為半徑作⊙O交BA延長線于點D，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明：連接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等邊三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD為半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=AB=2，
由勾股定理得：CD===2，
∴S陰影=S△ODC﹣S扇形AOD=×2×2﹣=2﹣π．

【解析】（1）連接OD，求出∠OAD=60°，得出等邊三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根據切線的判定得出即可；
（2）求出OD，根據勾股定理求出CD長，分別求出三角形ODC和扇形AOD的面積，相減即可．