Question

【題目】已知拋物線y=a（x﹣m）2+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．

（1）如圖1，求拋物線y=（x﹣2）2+1的伴隨直線的解析式．

（2）如圖2，若拋物線y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴隨直線是y=x﹣3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．

（3）如圖3，若拋物線y=a（x﹣m）2+n的伴隨直線是y=﹣2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．

①用含b的代數式表示m、n的值；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBD是一個等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標（用含b的代數式表示）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+5；（2）y=﹣（x﹣2）2﹣1；（3）①m=b，n=﹣2×b+b=﹣b，②P點坐標為：（b，b）；（b，b）；（b，﹣b）；（b，b）．

【解析】試題分析：（1）利用拋物線y=（x﹣2）2+1的與y軸交于點A（0，5），它的頂點為點B（2，1），求出直線解析式即可；

（2）首先得出點A的坐標為（0，﹣3），以及點C的坐標為（0，3），進而求出BE=2，得出頂點B的坐標求出解析式即可；

（3）①由已知可得A坐標為（0，b），C點坐標為（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即點B點的坐標為（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；

②利用①中B點坐標，以及BD的長度即可得出P點的坐標．

解：（1）由拋物線y=a（x﹣m）2+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，

∴拋物線y=（x﹣2）2+1的與y軸交于點A（0，5），它的頂點為點B（2，1），

設所求直線解析式為y=kx+b，

∴，

解得：，

∴所求直線解析式為y=﹣2x+5；

（2）如圖，作BE⊥AC于點E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點A的坐標為（0，﹣3），

點C的坐標為（0，3），

可得：AC=6，

∵平行四邊形ABCD的面積為12，

∴S△ABC=6即S△ABC=ACBE=6，

∴BE=2，

∵m＞0，即頂點B在y軸的右側，且在直線y=x﹣3上，

∴頂點B的坐標為（2，﹣1），

又拋物線經過點A（0，﹣3），

∴a=﹣，

∴y=﹣（x﹣2）2﹣1；

（3）①如圖，作BF⊥x軸于點F，

由已知可得A坐標為（0，b），C點坐標為（0，﹣b），

∵頂點B（m，n）在直線y=﹣2x+b（b＞0）上，

∴n=﹣2m+b，即點B點的坐標為（m，﹣2m+b），

在矩形ABCD中，CO=BO．

∴b=，

∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，

∴m=b，n=﹣2×b+b=﹣b，

②∵B點坐標為（m，n），即（b，﹣b），

∴BO==b，

∴BD=2b，

當BD=BP，

∴PF=2b﹣b=b，

∴P點的坐標為（b，b）；

如圖3，當DP=PB時，

過點D作DE⊥PB，于點E，

∵B點坐標為（b，﹣b），

∴D點坐標為（﹣b，b），

∴DE=b，BE=b，設PE=x，

∴DP=PB=b+x，

∴DE2+PE2=DP2，

∴+x2=（b+x）2，

解得：x=b，

∴PF=PE+EF=b+b=b，

∴此時P點坐標為：（b，b）；

同理P可以為（b，﹣b）；（b，b），

故P點坐標為：（b，b）；（b，b）；（b，﹣b）；（b，b）．