Question

【題目】如圖，P為反比例函數(x＜0)在第三象限內圖象上的一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線交一次函數y=－x+4的圖像于點A、B.若AO、BO分別平分∠BAP，∠ABP ，則k的值為___________．

Answer 1

【答案】8

【解析】分析: 作BF⊥x軸，OE⊥AB，CQ⊥AP，易證△BOE∽△AOD，根據相似三角形對應邊比例相等的性質即可求出k的值．

詳解: 作BF⊥x軸，OE⊥AB，CQ⊥AP；設P點坐標（n，），

∵直線AB函數式為y=-x+4，PB⊥y軸，PA⊥x軸，

∴∠PBA=∠PAB=45°，

∴PA=PB，

∵P點坐標（-n，-），

∴OD=CQ=n，

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵當x=0時，y=-x+4=4，

∴OC=DQ=4，GE=OE=OC=2；

同理可證：BG=BF=PD=，

∴BE=BG+EG=+2；

∵∠APB=90°，

∴∠PAB+∠PBA=90°.

∵AO、BO分別平分∠BAP，∠ABP ，

∴∠OBE+∠OAE=45°，

∵∠DAO+∠OAE=45°，

∴∠DAO=∠OBE，

在△BOE和△AOD中，

∵∠DAO=∠OBE,

∠BEO=∠ADO=90°，

∴△BOE∽△AOD；

∴ ,

∴；

整理得：nk+2n2=8n+2n2，

化簡得：k=8；

故答案為：8.