Question

【題目】如圖1，直線y=x+1與拋物線y=2x2相交于A、B兩點，與y軸交于點M，M、N關于x軸對稱，連接AN、BN．

（1）①求A、B的坐標；②求證：∠ANM=∠BNM；
（2）如圖2，將題中直線y=x+1變為y=kx+b（b＞0），拋物線y=2x2變為y=ax2（a＞0），其他條件不變，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①由已知得2x2=x+1，解得 或x=1，

當 時， ，當x=1時，y=2，

∴A、B兩點的坐標分別為（ ， ），（ 1，2）；

②如圖1，過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，

由①及已知有A（ ， ），B（ 1，2），且OM=ON=1，

∴ ， ，

∴tan∠ANM=tan∠BNM，

∴∠ANM=∠BNM；

（2）

解：∠ANM=∠BNM成立，

①當k=0，△ABN是關于y軸的軸對稱圖形，

∴∠ANM=∠BNM；

②當k≠0，根據題意得：OM=ON=b，設 、B ．

如圖2，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，

由題意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，

∴ ，

∵ = = = ，

∴ ，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．

【解析】（1）①聯立直線和拋物線解析式可求得A、B兩點的坐標；②過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，可分別求得∠ANM和∠BNM的正切值，可證得結論；（2）當k=0時，由對稱性可得出結論；當k≠0時，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，設 、B ，聯立直線和拋物線解析式，消去y，利用根與系數的關系，可求得 ，則可證明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出結論．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．