Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．動點E，F同時分別從點A，B出發，分別沿著射線AD和射線BD的方向均以每秒1個單位的速度運動，連接EF，以EF為直徑作⊙O交射線BD于點M，設運動的時間為t．

（1）當點E在線段AD上時，用關于t的代數式表示DE，DM．

（2）在整個運動過程中，

①連結CM，當t為何值時，△CDM為等腰三角形．

②圓心O處在矩形ABCD內（包括邊界）時，求t的取值范圍，并直接寫出在此范圍內圓心運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）（1）ED＝8﹣t，MD＝．（2）①t＝或t＝或t＝；②0≤t≤，圓心運動的路徑長為

【解析】

（1）在Rt△ABD中，依據勾股定理可求得BD的長，然后依據MD=EDcos∠MDE，cos∠MDE=cos∠ADB=，由此即可解決問題．

（2）①可分為點E在AD上，點E在AD的延長線上畫出圖形，然后再依據MC=MD，CM=CD、DM=DC三種情況求解即可；

②當t=0時，圓心O在AB邊上．當圓心O在CD邊上時，過點E作EH∥CD交BD的延長線與點H．先求得DH的長，然后依據平行線分線段成比例定理可得到DF=DH，然后依據DF=DH列出關于t的方程，從而可求得t的值，故此可得到t的取值范圍．

解：（1）如圖1所示：連接ME．

∵AE=t，AD=8，

∴ED=AD-AE=8-t．

∵EF為⊙O的直徑，

∴∠EMF=90°．

∴∠EMD=90°．

∴MD=EDcos∠MDE=．

（2）①a、如圖2所示：連接MC．

當DM=CD=6時，=6，解得t=；

b、如圖3所示：當MC=MD時，連接MC，過點M作MN⊥CD，垂足為N．

∵MC=MD，MN⊥CD，

∴DN=NC．

∵MN⊥CD，BC⊥CD，

∴BC∥MN．

∴M為BD的中點．

∴MD=5，即=5，解得t=；

c、如圖4所示：CM=CD時，過點C作CG⊥DM．

∵CM=CD，CG⊥MD，

∴GDMD=．

∵，

∴DG=CD=．

∴=．

解得：t=-1（舍去）．

d、如圖5所示：當CD=DM時，連接EM．

∵AE=t，AD=8，

∴DE=t-8．

∵EF為⊙O的直徑，

∴EM⊥DM．

∴DM=EDcos∠EDM=．

∴=6，解得：t=．

綜上所述，當t=或t=或t=時，△DCM為等腰三角形．

②當t=0時，圓心O在AB邊上．

如圖6所示：當圓心O在CD邊上時，過點E作EH∥CD交BD的延長線與點H．

∵HE∥CD，OF=OE，

∴DF=DH．

∵DH==，DF=10-t，

∴=10-t．

解得：t=．

綜上所述，在整個運動過程中圓心O處在矩形ABCD內（包括邊界）時，t的取值范圍為0≤t≤．

此時點O的運動路徑為OO1的長度，如圖：

過點O作OM⊥AB

當t=時，DE=-8=

∵EH∥CD，AB∥CD

∴EH∥AB

∴△DEH∽△DAB

∴，即，解得EH=

∴OD=EH=

由題意可知四邊形ADOK是矩形

∴AK= OD =，OK=AD=8

∴O1K= O1A- AK=

在Rt△OKO1中，OO1=

∴圓心運動的路徑長為．