Question

【題目】在□ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形DEBF是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，BF＝4，求□ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）32

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質，可證DF∥EB，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可證四邊形DEBF是平行四邊形，然后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可證；

（2）根據（1）可知DE=BF，然后根據勾股定理可求AD的長，然后根據角平分線的性質和平行線的性質可求得DF=AD，然后可求CD的長，最后可用平行四邊形的面積公式可求解.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，即DF∥EB．

又∵DF＝BE，

∴四邊形DEBF是平行四邊形．

∵DE⊥AB，

∴∠EDB＝90°．

∴四邊形DEBF是矩形．

（2）∵四邊形DEBF是矩形，

∴DE＝BF＝4，BD＝DF．

∵DE⊥AB，

∴AD＝＝＝5．

∵DC∥AB，

∴∠DFA＝∠FAB．

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠FAB．

∴∠DAF＝∠DFA．

∴DF＝AD＝5．

∴BE＝5．

∴AB＝AE＋BE＝3＋5＝8．

∴S□ABCD＝AB·BF＝8×4＝32．