Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
（1）用尺規作圖的方法，過B點作∠ABC的平分線交AC于D（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：BC=BD=AD；
（3）求證：AD²=AC•DC；
（4）設

CD

DA

=x，求x．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的方法進行作圖；
（2）根據三角形的內角和定理和等腰三角形的性質，得∠ABC=∠ACB=72°，再根據角平分線定義，得∠ABD=∠CBD=36°，根據三角形的外角的性質，得∠BDC=72°，最后根據等角對等邊即可證明；
（3）在（2）的基礎上，根據兩角對應相等證明△BCD∽△ABC，再根據相似三角形的性質即可得到

BC

CD

=

AC

BC

，結合（2）的結論即可證明；
（4）結合（3）的結論和已知條件可以得到關于x的方程，從而求解．

解答：（1）解：如圖，

（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠BDC=72°．
∴BC=BD=AD．

（3）證明：∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
又BC=BD=AD，
∴AD²=AC•DC．

（4）解：∵AD²=AC•DC，

CD

DA

=x，AC=AD+CD，
∴AD²=（AD+CD）•CD，
AD²=（AD+x•AD）•x•AD，
x（1+x）=1，
x²+x-1=0，
x=

-1± 5

2

（負值舍去）．
即x=

5 -1

2

．

點評：（1）注意：角平分線是一條射線；三角形的角平分線是一條線段．
（2）能夠根據三角形的內角和定理、三角形的外角的性質以及等腰三角形的性質求得三角形的各角的度數，根據等角對等邊即可證明；
（3）考查了相似三角形的判定和性質；
（4）掌握一元二次方程的解法，注意此圖中，點D實際上是AC的一個黃金分割點．