Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E與點F分別在線段AC、BC上，且四邊形DEFG是正方形。

(1)求證AE=CG，并說明理由。

(2)連接AG，若AB=17，DG=13，求AG的長.

Answer 1

【答案】（1）AE=CG;（2）3

【解析】

(1)因為四邊形EFGD是正方形，所以DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°，由四邊形ABCD是正方形，得到∠ADE=∠CDG，根據全等三角形的判定（SAS）得到△ADE≌△CDG，再根據全等三角形的性質得到AE=CG；

（2）由（1）知，AE=CG，又因為∠DCG=∠DAE=45°，結合題意得到∠ACG=90°，

所以得到AE⊥CG，過E作EH⊥AD，設AH=EH=x，則根據勾股定理得到，解得x=5，則AE=CG=5，故可得AG=3.

(1)理由是：如圖1，∵四邊形EFGD是正方形，

∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD =CD,∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDG，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE=CG.

（2）由（1）知，AE=CG，又∠DCG=∠DAE=45°，

∵∠ACD=45°，

∴∠ACG=90°，

∴CG⊥AC，即AE⊥CG，

過E作EH⊥AD，設AH=EH=x，則

解得x=5，則AE=CG=5，

所以AG==3.