Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于A、B兩點，其中A（m，0）、B（4，n），該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D．

（1）求m、n的值及該拋物線的解析式；

（2）如圖2，若點P為線段AD上的一動點（不與A、D重合），分別以AP、DP為斜邊，在直線AD的同側(cè)作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，連接MN，試確定△MPN面積最大時P點的坐標；

（3）如圖3，連接BD、CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=1,n=3, y＝﹣x2+6x﹣5；(2) 當m＝2，即AP＝2時，S△MPN最大，此時OP＝3，即P（3，0）；(3)存在，點Q的坐標為（2，﹣3）或（），理由見解析

【解析】

（1）把A與B坐標代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標，代入二次函數(shù)解析式求出b與c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時P的坐標即可；

（3）存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出AQ的長，利用兩點間的距離公式求出Q坐標即可．

解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y＝x﹣1得：m＝1，n＝3，

∴A（1，0），B（4，3），

∵y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A與點B，

∴，

解得：，

則二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+6x﹣5；

（2）如圖2，△APM與△DPN都為等腰直角三角形，

∴∠APM＝∠DPN＝45°，

∴∠MPN＝90°，

∴△MPN為直角三角形，

令﹣x2+6x﹣5＝0，得到x＝1或x＝5，

∴D（5，0），即DA＝5﹣1＝4，

設(shè)AP＝m，則有DP＝4﹣m，

∴PM＝m，PN＝（4﹣m），

∴S△MPN＝PMPN＝×m×（4﹣m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+1，

∴當m＝2，即AP＝2時，S△MPN最大，此時OP＝3，即P（3，0）；

（3）存在，

易得直線CD解析式為y＝x﹣5，設(shè)Q（x，x﹣5），

由題意得：∠BAD＝∠ADC＝45°，

當△ABD∽△/span>DAQ時，，即，

解得：AQ＝，

由兩點間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2＝，

解得：x＝或x＝，此時Q（，﹣）或（，﹣）（舍去）；

當△ABD∽△DQA時，＝1，即AQ＝，

∴（x﹣1）2+（x﹣5）2＝10，

解得：x＝2或x＝4，此時Q（2，﹣3）或（4，﹣1）（舍去），

綜上，點Q的坐標為（2，﹣3）或（）．