Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）＝0有兩個相等的實數根．

（1）求m的值；

（2）將y＝﹣x2+（m+1）x﹣（m2+1）的圖象向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，寫出變化后函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，當直線y＝2x+n與變化后的圖象有公共點時，求n2﹣4n的最小值

Answer 1

【答案】（1）m的值為1；（2）y＝﹣x2﹣4x﹣2；（3）﹣4．

【解析】

（1）根據判別式的意義得到△＝（m+1）2﹣4（m2+1）＝0，然后解方程即可；

（2）把原拋物線解析式配成頂點式得到y＝﹣（x﹣1）2，則它的頂點坐標為（1，0），利用點平移的規律得到平移后拋物線的頂點坐標為（﹣2，2），然后利用頂點式寫出變化后函數的表達式；

（3）根據題意方程﹣x2﹣4x﹣2＝2x+n有實數解，則利用判別式的意義得到n≤7，再配方得到n2﹣4n＝（n﹣2）2﹣4，然后根據二次函數的性質進行問題．

（1）△＝（m+1）2﹣4（m2+1）＝0，解得：m1＝m2＝1，即m的值為1；

（2）原拋物線解析式為y＝﹣x2+2x﹣1，即y＝﹣（x﹣1）2，它的頂點坐標為（1，0），把點（1，0）向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后的對應點的坐標為（﹣2，2），所以變化后函數的表達式為y＝﹣（x+2）2+2，即y＝﹣x2﹣4x﹣2；

（3）﹣x2﹣4x﹣2＝2x+n，整理得：x2+6x+n+2＝0，△＝62﹣4（n+2）≥0，解得：n≤7，n2﹣4n＝（n﹣2）2﹣4，所以當n＝2時，n2﹣4n的值最小，n2﹣4n最小值為﹣4．