Question

【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°，D為AC邊中點，過D點作DE⊥DF，分別交邊AB、BC于點E、F，連接BD.

（1）求證：△BDE≌△CDF.

（2）若AE=4，FC=3，求EF長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2）EF=5.

【解析】

（1）由等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，知BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，然后通過角度轉換得到∠FDC=∠EDB，即可證明全等；

（2）由△BED≌△CFD就可以得出AE=BF，BE=CF，即可求得EF的長．

（1）∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，

∴BD⊥AC（三線合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，

∴∠C=45°，

∴∠ABD=∠C，

又∵DE丄DF，

∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，

∴∠FDC=∠EDB，

在△EDB與△FDC中，

∴△EDB≌△FDC（ASA）；

（2）∵△EDB≌△FDC，

∴BE=FC=3，

∴AB=AE+BE=4+3=7，則BC=7，

∴BF=4，

在Rt△EBF中，.