Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點A，經過點A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對稱軸是x=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移直線l經過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點，PB⊥x軸于點B，PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PE=3PF．求證：PE⊥PF；

（3）若（2）中的點P坐標為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點Q的坐標為（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

（1）先求得點A的坐標，然后依據拋物線過點A，對稱軸是x=列出關于a、c的方程組求解即可；

（2）設P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進行證明即可；

（3）設E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標，然后依據中點坐標公式可得到，，從而可求得點Q的坐標（用含a的式子表示），最后，將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得a的值即可．

（1）當y=0時，，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點A，對稱軸是x=，得，

解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直線l經過原點O，得到直線m，

∴直線m的解析式為y=x．

∵點P是直線1上任意一點，

∴設P（3a，a），則PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如圖所示，點E在點B的左側時，設E（a，0），則BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF為矩形，

∴，，

∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，

∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

將點Q的坐標代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下圖所示：當點E在點B的右側時，設E（a，0），則BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，

∴OF=3a﹣20．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF為矩形，

∴，，

∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，

∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

將點Q的坐標代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．

∴Q（2，﹣6）．

綜上所述，點Q的坐標為（﹣2，6）或（2，﹣6）．