Question

【題目】如圖，二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（﹣4，﹣4），且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）試求此二次函數(shù)的解析式；
（2）試證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點(diǎn)）；
（3）若P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)P作y軸的平行線，分別交此二次函數(shù)圖象及x軸于Q、H兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使PH=2QH？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A（4，0）與B（﹣4，﹣4）在二次函數(shù)圖象上，

∴

解得

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣ x2+ x+2．

（2）解：過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由（1）得C（0，2），

則在Rt△AOC中，tan∠CAO= = = ，

又在Rt△ABD中，tan∠BAD= = = ；

∵tan∠CAO=tan∠BAD，

∴∠CAO=∠BAO．

（3）解：由點(diǎn)A（4，0）與B（﹣4，﹣4），可得直線AB的解析式為y= x﹣2，

設(shè)P（x， x﹣2），（﹣4＜x＜4）；

則Q（x，﹣ x2+ x+2），

∴PH=| x﹣2|=2﹣ x，QH=|﹣ x2+ x+2|．

∴2﹣ x=2|﹣ x2+ x+2|．

當(dāng)2﹣ x=﹣ x2+x+4，

解得x1=﹣1，x2=4（舍去），

∴P（﹣1，﹣ ）

當(dāng)2﹣ x= x2﹣x﹣4，

解得x1=﹣3，x2=4（舍去），

∴P（﹣3，﹣ ）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，它們是P1（﹣1，﹣ ）與P2（﹣3，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法把AB坐標(biāo)代入拋物線解析式即可；（2）求出這兩個(gè)銳角的正切值，反過(guò)來(lái)由值相等可以推得角相等；（3）豎直線段的長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為y上-y下，HQ的長(zhǎng)可分類討論HQ=yH-yQ或HQ=yQ-yH，即可求出結(jié)果.