Question

【題目】對于數軸上的A、B、C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是其它兩個點的“至善點”．例如：若數軸上點A、B、C所表示的數分別為1、3、4，則點B是點A、C的“至善點”．

（1）若點A表示數﹣2，點B表示數2，下列各數、0、1、6所對應的點分別為C1、C2、C3、C4，其中是點A、B的“至善點”的有　 　（填代號）；

（2）已知點A表示數﹣1，點B表示數3，點M為數軸上一個動點：

①若點M在點A的左側，且點M是點A、B的“至善點”，求此時點M表示的數m；

②若點M在點B的右側，點M、A、B中，有一個點恰好是其它兩個點的“至善點”，求出此時點M表示的數m．

Answer 1

【答案】（1）C1、C4；（2）①﹣5；②點M表示的數m可以為5，7，11

【解析】

（1）根據C1、C2、C3、C4所表示的數，分別計算這個點到A、B的距離，根據“至善點”的意義進行判斷即可；

（2）①點M在點A的左側，則m＜﹣1，點M是點A、B的“至善點”，則有2MA＝MB，列方程求解即可；

②點M在點B的右側，則m＞3，由點M、A、B中，有一個點恰好是其它兩個點的“至善點”，分三種情況進行討論： M是A、B的“至善點”，A是B、M的“至善點”，B是A、M的“至善點”，分別建立方程即可求解．

解：（1）當C1＝﹣時，AC1＝|﹣+2|＝，BC1＝|2+|＝，有BC1＝2AC1，因此C1符合題意；

當C2＝0時，AC2＝|0+2|＝2，BC2＝|2+0|＝2，有BC2＝AC2，因此C2不符合題意；

當C3＝1時，AC3＝|1+2|＝3，BC3＝|2﹣1|＝1，有3BC3＝AC3，因此C3不符合題意；

當C4＝6時，AC4＝|6+2|＝8，BC4＝|2﹣6|＝4，有2BC4＝AC4，因此C4符合題意；

故答案為：C1、C4；

（2）①點M在點A的左側，則m＜﹣1，

點M是點A、B的“至善點”，因此有2MA＝MB，即2（﹣1﹣m）＝3﹣m，

解得，m＝﹣5，

②點M在點B的右側，則m＞3，

點M、A、B中，有一個點恰好是其它兩個點的“至善點”，

Ⅰ）若M是A、B的“至善點”，則2MB＝MA，即2（m﹣3）＝m+1，解得m＝7，

Ⅱ）若A是B、M的“至善點”，則2AB＝AM，即2（3+1）＝m+1，解得m＝7，

Ⅲ）若B是A、M的“至善點”，則2AB＝BM或AB＝2BM，即2（3+1）＝m﹣3或3+1＝2（m﹣3），解得m＝11或m＝5，

答：點M表示的數m可以為5，7，11．